微分方程

一、教学目标及基本要求

1. 知道求解微分方程的解析法、数值解法以及图形表示解的方法，理解求微分方程数值解的欧拉方法 , 了解龙格 --- 库塔方法的思想 ;

2. 熟练掌握使用 MATLAB 软件的函数求微分方程的解析解、数值解和图形解；

3. 通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想。

二、教学内容及学时分配

　　第 1-4 节 微分方程模型及微分方程的求解方法

　　　　数值解法的原理，向前、向后欧拉公式，改进欧拉公式，梯形公式——2 学时

　　第 5-6 节 微分方程及微分方程组求解的 MATLAB 命令、应用范例函数 dsolve, ode23, ode45 等函数的功能与调用格式， 范例： 追击路线问题—— 2 学时

三、本章教学内容的重点和难点

1. 微分方程数值解法的原理；

2. 用 ode23,ode45 求解微分方程和方程组时定义方程的函数 M 文件的编写，如何将高阶微分方程转化为线性微分方程组；

3. solve, ode23, ode45 的局限性和适用的微分方程类型，输出解的特点 ；

4. 如何建立微分方程模型。

四、本章教学内容的深化和拓宽

1. 龙格 --- 库塔方法的思想 ；

2. 微分方程解的图示，相轨线；

3. 范例：地中海中的鲨鱼数量问题 。

五、教学过程中应注意的问题

1. 从实验和理论两方面来阐释微分方程数值解法的原理；

2. 注意两类解微分方程、微分方程组的命令 d solve 和 ode** 在调用格式和功能方面的区别，一个提供符号解（精确解），另一个提供数值解（逼近解） ；

3. 注意数值解法有时不一定可靠，甚至会出现误差很大的情形；

4. 注意高阶微分方程必须转化为线性微分方程组才能用 ode** 来求解。

六、更多的相关信息资源

1. Frank R. Giordano, Maurice D. Weir, William O. Fox, A first course in mathematical modeling, 3 rd edition, Thomson Learning, Inc., 2003.

2. COMAP, Principles and practice of mathematics, Springer-Verlag, New York, 1997.

3. 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型 , 高等教育出版社 ( 第三版 ) ， 2003.

4. John H. Mathews, Kurtis D. Fink, Numerical methods using Matlab, 3 rd edition, Pearson Education, 2002.

5. Quinney. An Introduction to the Numerical Solution of Differential Equations. John Wiley & Sons Inc. ， 1985.

6. Fulford. Modelling with differential and difference equations. Cambridge: Cambridge University Press ， 1997.

七、操练